home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ TeX 1995 July / TeX CD-ROM July 1995 (Disc 1)(Walnut Creek)(1995).ISO / macros / plain / contrib / springer / plncs11 / plncs.dem < prev    next >
Encoding:
Text File  |  1992-05-31  |  11.8 KB  |  285 lines

  1. % This is PLNCS.DEM the demonstration file of
  2. % the plain TeX macro package from Springer-Verlag
  3. % for Lecture Notes in Computer Science, version 1.1
  4. \def\12{{1\ov 2}}
  5. \def\al{\alpha}
  6. \def\Aun{A_\un}
  7. \def\aun{a_\un}
  8. \def\bullet{\cdot}
  9. \def\Bun{B_\un}
  10. \def\bun{b_\un}
  11. \def\de{\delta}
  12. \def\dx{\dot x}
  13. \def\ep{\epsilon}
  14. \def\fa{\forall}
  15. \def\for{{\rm for}}
  16. \def\Lai{\Lambda}
  17. \def\lb{\left[}
  18. \def\lg{\left\{}
  19. \def\liminfuu{{\rm lim inf}$\,$}
  20. \def\liminfu{\mathop{\vphantom{\tst\sum}\hbox{\liminfuu}}}
  21. \def\limsupuu{{\rm lim sup}$\,$}
  22. \def\limsupu{\mathop{\vphantom{\tst\sum}\hbox{\limsupuu}}}
  23. \def\lr{\left(}
  24. \def\lss{\left\|}
  25. \def\Min{{\rm Min\,}}
  26. \def\NN{\bbbn}
  27. \def\ol{\overline}
  28. \def\om{\omega}
  29. \def\ov{\over}
  30. \def\rb{\right]}
  31. \def\rg{\right\}}
  32. \def\RRn{\bbbr^{2n}}
  33. \def\RR{\bbbr}
  34. \def\rr{\right)}
  35. \def\rss{\right\|}
  36. \def\sm{\setminus}
  37. \def\tst{\textstyle}
  38. \def\tx{\wt x}
  39. \def\un{\infty}
  40. \def\wt{\widetilde}
  41. \def\ZZ{\bbbz}
  42. \input plncs.cmm
  43. \contribution{Hamiltonian Mechanics}
  44. \author{Ivar Ekeland@1 and Roger Temam@2}
  45. \address{@1Princeton University, Princeton, NJ 08544, USA
  46. @2Universit\'e de Paris-Sud, Laboratoire d'Analyse Num\'erique,
  47. B\^atiment 425, F-91405 Orsay Cedex, France}
  48. \abstract{The abstract should summarize the contents of the paper
  49. using at least 70 and at most 150 words. It will be set in 9-point
  50. font size and be inset 1.0 cm from the right and left margins.
  51. There will be two blank lines before and after the Abstract. \dots}
  52. \titlea{1}{Fixed-Period Problems: The Sublinear Case}
  53. With this chapter, the preliminaries are over, and we begin the search
  54. for periodic solutions to Hamiltonian systems. All this will be done in
  55. the convex case; that is, we shall study the boundary-value problem
  56. $$\eqalign{\dot x &= JH' (t,x)\cr x(0) &= x(T)\cr}$$
  57. with $H(t,\bullet )$ a convex function of $x$, going to $+\un$ when
  58. $\lss x\rss \to \un$.
  59.  
  60. \titleb{1.1}{Autonomous Systems}
  61. In this section, we will consider the case when the Hamiltonian $H(x)$
  62. is autonomous. For the sake of simplicity, we shall also assume that it
  63. is $C^1$.
  64.  
  65. We shall first consider the question of nontriviality, within the
  66. general framework of $\lr \Aun , \Bun\rr$-subquadratic Hamiltonians. In
  67. the second subsection, we shall look into the special case when $H$ is
  68. $\lr 0,\bun\rr$-subquadratic, and we shall try to derive additional
  69. information.
  70. \titlec{ The General Case: Nontriviality.}
  71. We assume that $H$ is $\lr \Aun , \Bun \rr$-sub\-qua\-dra\-tic at
  72. infinity, for some constant symmetric matrices $\Aun$ and $\Bun$, with
  73. $\Bun -\Aun$ positive definite. Set:
  74. $$\eqalignno{
  75. \gamma :& = {\rm smallest\ eigenvalue\  of}\ \ \Bun - \Aun  & (1)\cr
  76. \lambda : & = {\rm largest\ negative\ eigenvalue\ of}\ \ J {d\ov dt}
  77. +\Aun\ . & (2)\cr}$$
  78.  
  79. Theorem 21 tells us that if $\lambda +\gamma < 0$, the boundary-value
  80. problem:
  81. $$\eqalign{ \dx &= JH' (x)\cr
  82. x(0) &= x (T)\cr}\eqno(3)$$
  83. has at least one solution $\ol x$, which is found by minimizing the dual
  84. action functional:
  85. $$ \psi (u) = \int_o^T \lb \12 \lr \Lai_o^{-1} u,u\rr + N^\ast (-u)\rb
  86. dt\eqno(4)$$
  87. on the range of $\Lai$, which is a subspace $R (\Lai )\sb L^2$ with
  88. finite codimension. Here
  89. $$ N(x) := H(x) - \12 \lr \Aun x,x\rr\eqno(5)$$
  90. is a convex function, and
  91. $$ N(x) \le \12 \lr \lr \Bun - \Aun\rr x,x\rr + c\ \ \ \fa x\
  92. .\eqno(6)$$
  93.  
  94. \proposition{ 1.} { Assume $H'(0)=0$ and $ H(0)=0$. Set:
  95. $$ \de := \liminfu_{x\to 0} 2 N (x) \lss x\rss^{-2}\ .\eqno(7)$$
  96.  
  97. If $\gamma < - \lambda < \de$, the solution $\ol u$ is non-zero:
  98. $$ \ol x (t) \ne 0\ \ \ \fa t\ .\eqno(8)$$}
  99. \proof{} Condition (7) means that, for every $\de ' > \de$, there is
  100. some $\ep > 0$ such that
  101. $$ \lss x\rss \le \ep \Rightarrow N (x) \le {\de '\ov 2} \lss x\rss^2\
  102. .\eqno(9)$$
  103.  
  104. It is an exercise in convex analysis, into which we shall not go, to
  105. show that this implies that there is an $\eta > 0$ such that
  106. $$ f\lss x\rss \le \eta \Rightarrow N^\ast (y) \le {1\ov 2\de '} \lss
  107. y\rss^2\ .\eqno(10)$$
  108.  
  109. \begfig 2.5cm
  110. \figure{1}{This is the caption of the figure displaying a white eagle
  111. and a white horse on a snow field}
  112. \endfig
  113.  
  114. Since $u_1$ is a smooth function, we will have $\lss hu_1\rss_\un \le
  115. \eta$ for $h$ small enough, and inequality (10) will hold, yielding
  116. thereby:
  117. $$ \psi (hu_1) \le {h^2\ov 2} {1\ov \lambda} \lss u_1 \rss_2^2 + {h^2\ov
  118. 2} {1\ov \de '} \lss u_1\rss^2\ .\eqno(11)$$
  119.  
  120. If we choose $\de '$ close enough to $\de$, the quantity $\lr {1\ov
  121. \lambda} + {1\ov \de '}\rr$ will be negative, and we end up with $$ \psi
  122. (hu_1) < 0\ \ \ \ \ \for\ \ h\ne 0\ \ {\rm small}\ .\eqno(12)$$
  123.  
  124. On the other hand, we check directly that $\psi (0) = 0$. This shows
  125. that 0 cannot be a minimizer of $\psi$, not even a local one. So $\ol u
  126. \ne 0$ and $\ol u \ne \Lai_o^{-1} (0) = 0$. \qed
  127.  
  128. \corollary{ 2.} { Assume $H$ is $C^2$ and $\lr \aun
  129. ,\bun\rr$-subquadratic at infinity. Let
  130. $\xi_1,\allowbreak\dots,\allowbreak\xi_N$  be the
  131. equilibria, that is, the solutions of $H' (\xi ) = 0$. Denote by $\om_k$
  132. the smallest eigenvalue of $H'' \lr \xi_k\rr$, and set:
  133. $$ \om : = \Min \lg \om_1 , \dots , \om_k\rg\ .\eqno(13)$$
  134. If:
  135. $$ {T\ov 2\pi} \bun < - E \lb - {T\ov 2\pi}\aun\rb < {T\ov
  136. 2\pi}\om\eqno(14)$$
  137. then minimization of $\psi$ yields a non-constant $T$-periodic solution
  138. $\ol x$.}
  139. We recall once more that by the integer part $E [\al ]$ of $\al \in
  140. \RR$, we mean the $a\in \ZZ$ such that $a< \al \le a+1$. For instance,
  141. if we take $\aun = 0$, Corollary 2 tells us that $\ol x$ exists and is
  142. non-constant provided that:
  143. $$ {T\ov 2\pi} \bun < 1 < {T\ov 2\pi}\eqno(15)$$
  144. or
  145. $$ T\in \lr {2\pi\ov \om},{2\pi\ov \bun}\rr\ .\eqno(16)$$
  146. \proof{} The spectrum of $\Lai$ is ${2\pi\ov T} \ZZ +\aun$. The largest
  147. negative eigenvalue $\lambda$ is given by ${2\pi\ov T}k_o +\aun$, where
  148. $$ {2\pi\ov T}k_o + \aun < 0\le {2\pi\ov T} (k_o +1) + \aun\
  149. .\eqno(17)$$
  150. Hence:
  151. $$ k_o = E \lb - {T\ov 2\pi} \aun\rb \ .\eqno(18)$$
  152.  
  153. The condition $\gamma < -\lambda < \de$ now becomes:
  154. $$ \bun - \aun < - {2\pi\ov T} k_o -\aun < \om -\aun\eqno(19)$$
  155. which is precisely condition (14).\qed
  156.  
  157. \lemma {3.} { Assume that $H$ is $C^2$ on $\RRn \sm \{ 0\}$ and
  158. that $H'' (x)$ is non-degenerate for any $x\ne 0$. Then any local
  159. minimizer $\tx$ of $\psi$ has minimal period $T$.}
  160. \proof{} We know that $\tx$, or $\tx + \xi$ for some constant $\xi
  161. \in \RRn$, is a $T$-periodic solution of the Hamiltonian system:
  162. $$ \dx = JH' (x)\ .\eqno(20)$$
  163.  
  164. There is no loss of generality in taking $\xi = 0$. So $\psi (x) \ge
  165. \psi (\tx )$ for all $\tx$ in some neighbourhood of $x$ in $W^{1,2} \lr
  166. \RR / T\ZZ ; \RRn\rr$.
  167.  
  168. But this index is precisely the index $i_T (\tx )$ of the $T$-periodic
  169. solution $\tx$ over the interval $(0,T)$, as defined in Sect.~2.6. So
  170. $$ i_T (\tx ) = 0\ .\eqno(21)$$
  171.  
  172. Now if $\tx$ has a lower period, $T/k$ say, we would have, by Corollary
  173. 31:
  174. $$ i_T (\tx ) = i_{kT/k}(\tx ) \ge ki_{T/k} (\tx ) + k-1 \ge k-1 \ge
  175. 1\ .\eqno(22)$$
  176.  
  177. This would contradict (21), and thus cannot happen.\qed
  178. \titled{Notes and Comments.} The results in this section are a
  179. refined
  180. version of [1]; the minimality result of Proposition 14 was the first
  181. of its kind.
  182.  
  183. To understand the nontriviality conditions, such as the one in formula
  184. (16), one may think of a one-parameter family $x_T$, $T\in \lr
  185. 2\pi\om^{-1}, 2\pi \bun^{-1}\rr$ of periodic solutions, $x_T (0) = x_T
  186. (T)$, with $x_T$ going away to infinity when $T\to 2\pi \om^{-1}$, which
  187. is the period of the linearized system at 0.
  188.  
  189. \vskip8 true mm
  190. \tabcap{1}{This is the example table took out of the
  191. \TeX{} book page 246}
  192. \vbox{\petit\hrule\smallskip
  193. \halign{\hfil#\quad&\quad#\hfil\cr
  194. Year\hfill&World population\cr
  195. \noalign{\smallskip\hrule\smallskip}
  196. 8000 B.C.&\phantom{1,00}5,000,000\cr
  197. 50 A.D.&\phantom{1,}200,000,000\cr
  198. 1650 A.D.&\phantom{1,}500,000,000\cr
  199. 1945 A.D.&2,300,000,000\cr
  200. 1980 A.D.&4,400,000,000\cr}
  201. \smallskip\hrule}
  202. \vskip 8 true mm
  203.  
  204. \theorem{4 (Ghoussoub-Preiss).} { Assume $H(t,x)$ is
  205. $(0,\ep )$-subquadratic at
  206. infinity for all $\ep > 0$, and $T$-periodic in $t$
  207. $$ H (t,\bullet )\ \ \ \ \ {\rm is\ convex}\ \ \fa t\eqno(23)$$
  208. $$ H (\bullet ,x)\ \ \ \ \ {\rm is}\ \ T{\rm -periodic}\ \ \fa x
  209. \eqno(24)$$
  210. $$ H (t,x)\ge n\lr \lss x\rss\rr\ \ \ \ \ {\rm with}\ \ n (s)s^{-1}\to
  211. \un\ \ {\rm as}\ \ s\to \un\eqno(25)$$
  212. $$ \fa \ep > 0\ ,\ \ \ \exists c\ :\ H(t,x) \le {\ep\ov 2}\lss x\rss^2 +
  213. c\ .\eqno(26)$$
  214.  
  215. Assume also that $H$ is $C^2$, and $H'' (t,x)$ is positive definite
  216. everywhere. Then there is a sequence $x_k$, $k\in \NN$, of $kT$-periodic
  217. solutions of the system
  218. $$ \dx = JH' (t,x)\eqno(27)$$
  219. such that, for every $k\in \NN$, there is some $p_o\in\NN$ with:
  220. $$ p\ge p_o\Rightarrow x_{pk} \ne x_k\ .\eqno(28)$$\qed}
  221. \example {1 {\rm(External forcing).}}{ Consider the system:
  222. $$ \dx = JH' (x) + f(t)\eqno(29)$$
  223. where the Hamiltonian $H$ is $\lr 0,\bun\rr$-subquadratic, and the
  224. forcing term is a distribution on the circle:
  225. $$ f = {d\ov dt} F + f_o\ \ \ \ \ {\rm with}\ \ F\in L^2 \lr \RR / T\ZZ
  226. ; \RRn\rr\ ,\eqno(30)$$
  227. where $f_o : = T^{-1}\int_o^T f (t) dt$. For instance,
  228. $$ f (t) = \sum_{k\in \NN} \de_k \xi\ ,\eqno(31)$$
  229. where $\de_k$ is the Dirac mass at $t= k$ and $\xi \in \RRn$ is a
  230. constant, fits the prescription. This means that the system $\dx = JH'
  231. (x)$ is being excited by a series of identical shocks at interval $T$.}
  232.  
  233. \definition{5.}{Let $A_\un (t)$ and $B_\un (t)$ be symmetric
  234. operators in $\RRn$, depending continuously on $t\in [0,T]$, such that
  235. $A_\un (t) \le B_\un (t)$ for all $t$.
  236.  
  237. A Borelian function $H: [0,T]\times \RRn \to \RR$ is called $\lr A_\un
  238. ,B_\un\rr$-{\it subquadratic at infinity} if there exists a function
  239. $N(t,x)$ such that:
  240. $$ H (t,x) = \12 \lr A_\un (t) x,x\rr + N(t,x)\eqno(32)$$
  241. $$ \fa t\ ,\ \ \ N(t,x)\ \ \ \ \ {\rm is\ convex\ with\  respect\  to}\
  242. \ x\eqno(33)$$
  243. $$ N(t,x) \ge n\lr \lss x\rss\rr\ \ \ \ \ {\rm with}\ \ n(s)s^{-1}\to
  244. +\un\ \ {\rm as}\ \ s\to +\un\eqno(34)$$
  245. $$ \exists c\in \RR\ :\ \ \ H (t,x) \le \12 \lr B_\un (t) x,x\rr + c\ \
  246. \ \fa x\ .\eqno(35)$$
  247. }
  248. If $A_\un (t) = a_\un I$ and $B_\un (t) = b_\un I$, with $a_\un \le
  249. b_\un \in \RR$, we shall say that $H$ is $\lr a_\un
  250. ,b_\un\rr$-subquadratic at infinity. As an example, the function $\lss x
  251. \rss^\al$, with $1\le \al < 2$, is $(0,\ep )$-subquadratic at infinity
  252. for every $\ep > 0$. Similarly, the Hamiltonian
  253. $$ H (t,x) = \12 k \lss k\rss^2 +\lss x\rss^\al\eqno(36)$$
  254. is $(k,k+\ep )$-subquadratic for every $\ep > 0$. Note that, if $k<0$,
  255. it is not convex.
  256.  
  257. \titled{Notes and Comments.} The first results on subharmonics were
  258. obtained by Rabinowitz in [5], who showed the existence of infinitely
  259. many subharmonics both in the subquadratic and superquadratic case, with
  260. suitable growth conditions on $H'$. Again the duality approach enabled
  261. Clarke and Ekeland in [2] to treat the same problem in the
  262. convex-subquadratic case, with growth conditions on $H$ only.
  263.  
  264. Recently, Michalek and Tarantello (see [3] and [4]) have obtained
  265. lower bound on the number of subharmonics of period $kT$, based on
  266. symmetry considerations and on pinching estimates, as in Sect.~5.2 of
  267. this article.
  268. \begref{References}{5.}
  269. \refno {1.} Clarke, F., Ekeland, I.: Nonlinear oscillations and
  270. boundary-value problems for Hamiltonian systems. Arch. Rat. Mech. Anal.
  271. {\bf 78} (1982) 315--333
  272. \refno {2.} Clarke, F., Ekeland, I.: Solutions p\'eriodiques, du
  273. p\'eriode donn\'ee, des \'equations hamiltoiennes. Note CRAS Paris {\bf
  274. 287} (1978) 1013--1015
  275. \refno {3.} Michalek, R., Tarantello, G.: Subharmonic solutions with
  276. prescribed minimal period for nonautonomous Hamiltonian systems. J.
  277. Diff. Eq. {\bf 72} (1988) 28--55
  278. \refno {4.} Tarantello, G.: Subharmonic solutions for Hamiltonian
  279. systems via a $\bbbz_p$ pseudoindex theory. Annali di Mathematica Pura
  280. (to appear)
  281. \refno {5.} Rabinowitz, P.: On subharmonic solutions of a
  282. Hamiltonian system. Comm. Pure Appl. Math. {\bf 33} (1980) 609--633
  283. \endref
  284. \byebye
  285.